正态分布

数据可以用不同的方式"分布" （散布）。

但数据经常会集中在一个中心值的附近，而不向左或右偏斜，像一个 "正态分布"：

正态分布

"钟形曲线"是个正态分布。 黄色的直方图显示有些数据遵循， 但并不完美地遵循，正态分布（通常是这样的）。

实际生活中很多东西都遵循正态分布:

我们说数据是 "正态分布"的：

正态分布：

你可以来看看随机形成的正态分布！

这叫梅花机――一个很奇妙的机器。

来玩玩！

标准差是数据散布的指标（去网页看看它是怎样计算的）。

当你计算标准差时，你通常会留意到：

68%的数值是在 离平均值1个标准差之内

95%的数值是在 离平均值

2个标准差之内

99.7%的数值是在离平均值3个标准差之内

假设数据是正态分布的，求平均值和标准差。

平均是在 1.1m 和 1.7m 的正中间：

平均 = (1.1m + 1.7m) / 2 = 1.4m

95% 是平均两边 2个标准差的距离（总共 4个标准差），所以：

结果是：

知道标准差是很有用的，因为我们可以说任何一个数值离平均值值：

数值离开平均值的距离与标准差的比（就是离开平均值有几个标准差）也叫 "标准分数"，英语 "sigma" 或 "Z分数"。记住这些名词！

从图上的钟形线你可以看到 1.85m是离平均值（1.4） 3个标准差，所以：

他身高的 "Z分数" 是 3.0

我们也可以计算 1.85 离平均值有多少个标准差

1.85 离平均值有多远？

离平均值 1.85 - 1.4 = 0.45m

这是几个标准差？标准差是 0.15m，所以：

0.45m / 0.15m = 3个标准差

所以要将数值转换为标准分数（"Z分数"）：:

这个运算叫 "标准化"：

我们可以将任何正太分布转换为标准正态分布。

每天行程时间调查的结果是（分钟）：

26、33、65、28、34、55、25、44、50、36、26、37、43、62、35、38、45、32、28、34

平均是 38.8分钟，标准差是 11.4分钟（你可以 复制并粘贴到标准差计算器来看看）。

转换为 Z分数（"标准分数"）。

转换 26：

所以 26 离平均值 -1.12个标准差

以下是头三个的转换结果

在图上：

你可以自己去算其他的 Z分数！

这是我们用的 Z分数公式：

因为标准化后我们可以为数据做决定。

这是学生的分数（满分是 60分）：

20、15、26、32、18、28、35、14、26、22、17

大部分的学生连 30分也拿不到，大部分都不及格。

一定是个很难的测验，所以韦教授决定标准化所有分数，然后把合格分数定在平均以下一个标准差。

平均是 23，标准差是 6.6，以下是标准分数：

-0.45、-1.21、0.45、1.36、-0.76、0.76、1.82、-1.36、0.45、-0.15、-0.91

只有两个学生不合格（分数是 15 和 14）

标准化后的计算也比较简单，因为只需要查看一个表（标准正态分布表）而不需要每次为不同的平均值和标准差做计算。

以下是标准正态分布里每一半的百分比和累积百分比：

例子：你最近测验的分数是在平均值以上 0.5个标准差，有几个人的得分比你低？

所以分数比你低i的百分比是：

50% + 19.1% = 69.1%

理论上 69.1% 的分数比你低（实际上百分比可能不同）

样本称量的结果是：

有些袋子比 1000g 轻……你可以解决问题吗？

测量的正态分布像这样：

31% 的袋子比 1000g 轻， 这是欺骗顾客！

这是随机发生的，所以我们不能绝对没有比 1000g 轻的袋子，但我们可以尝试把轻的个数尽量减少。

我们把包装机器调校到 1000g 为：

我们去把机器调校到 1000g 离平均值 −2.5个标准差。

我们可以把机器调校到：

我们两个都做

标准差是 20g，我们需要 2.5个：

2.5 × 20g = 50g

所以机器的平均值应该是 1050g，像这样：

我们也可以保持平均不变（1010g），但需要 2.5个标准差等于 10g：

10g / 2.5 = 4g

所以标准差应该是 4g：

（希望机器可以这么精确！）

我们也可以两个都用：用好一点精确度和大一点重量的结合。你自己决定！

你可以用 标准正态分布表 来得到更精确的数值。